Как мы уже выяснили, сегодняшние денежные средства дороже, чем будущие. Если нам предлагают приобрести бескупонную облигацию, а через год обещают эту ценную бумагу погасить и выплатить 1000 руб., то необходимо вычислить цену данной облигации, по которой мы согласились бы ее купить. По сути дела, для нас задача сводится к определению текущей стоимости 1000 руб., которые мы получим через год.

Текущая стоимость - оборотная сторона будущей стоимости.

Текущая стоимость - это дисконтированная стоимость будущего денежного потока. Ее можно вывести из формулы определения будущей стоимости:

где РУ - текущая стоимость; V - будущие платежи; г - ставка дисконтирования; коэффициент дисконтирования; п - число лет.

В приведенном выше примере можем исчислить цену облигации, пользуясь данной формулой. Для этого необходимо знать ставку дисконтирования. В качестве ставки дисконтирования берут доходность, которую можно получить на финансовом рынке, вкладывая деньги в какой-либо финансовый инструмент с аналогичным уровнем риска (банковский депозит, вексель и т.п.). Если у нас есть возможность разместить денежные средства в банке, который выплачивает за год 15%, то цена предлагаемой нам облигации

Таким образом, приобретя данную облигацию за 869 руб. и получив через год при ее погашении 1000 руб., мы заработаем 15%.

Рассмотрим пример, кода инвестору требуется рассчитать первоначальную сумму вклада. Если через четыре года инвестор хочет получить в банке сумму 15 000 руб. при рыночных процентных ставках 12% годовых, то какую сумму ему следует разместить на банковском депозите? Итак,

Для вычисления приведенной стоимости целесообразно пользоваться таблицами дисконтирования, показывающими текущую стоимость денежной единицы, которую предполагается получить через несколько лет. Таблица коэффициентов дисконтирования, показывающих приведенную стоимость денежной единицы, представлена в приложении 2. Фрагмент этой таблицы приведен ниже (табл. 4.4).

Таблица 4.4. Приведенная стоимость денежной единицы, которая будет получена через и лет

	Годовая процентная ставка

Например, требуется определить приведенную стоимость 500 долл. США, которые предполагается получить через семь лет при ставке дисконтирования 6%. В табл. 4.4 на пересечении строки (7 лет) и столбца (6%) находим коэффициент дисконтирования 0,665. В этом случае приведенная стоимость 500 долл. равна 500 0,6651 = 332,5 долл.

Если проценты выплачивать чаще чем один раз в год, то формула расчета текущей стоимости модифицируется аналогично тому, как мы поступали с расчетами будущей стоимости. При многократном начислении процентов в течение года формула определения текущей стоимости имеет вид

В рассмотренном примере с четырехлетним депозитом предположим, что проценты по вкладу начисляются ежеквартально. В этом случае, чтобы получить через четыре года 15 000 долл., инвестор должен разместить па депозите сумму

Таким образом, чем чаще идет начисление процентов, тем меньше текущая стоимость при заданном конечном результате, т.е. взаимосвязь между частотой начисления процентов и текущей стоимостью обратна по сравнению с той, которая складывается для будущей стоимости.

В практической деятельности финансовые менеджеры постоянно сталкиваются с проблемой выбора вариантов, когда необходимо сравнивать разновременные денежные потоки.

Например, существуют два варианта финансирования строительства нового объекта. Общий срок строительства составляет четыре года, сметная стоимость строительства - 10 млн руб. В конкурсе на получение подряда участвуют две организации, предлагающие следующие условия оплаты работ по годам (табл. 4.5).

Таблица 4.5. Сметная стоимость строительства, млн руб.

	Организация А	Организация В

Сметная стоимость строительства одинакова. Однако затраты по времени их осуществления распределены неравномерно. Организация А основную сумму затрат (40%) осуществляет в конце строительства, а организация В - в начальный период. Безусловно, для заказчика более выгодно затраты на оплату отнести на конец периода, так как с течением времени денежные средства обесцениваются.

Для того чтобы сравнить разновременные денежные потоки, необходимо найти их приведенную к текущему моменту времени стоимость и просуммировать полученные значения.

Приведенная стоимость потока платежей (РУ) рассчитывается по формуле

где - денежный поток в году; t - порядковый номер года; г - ставка дисконтирования.

Если в рассматриваемом примере г = 15%, то результаты расчетов приведенных стоимостей по двум вариантам выглядят следующим образом (табл. 4.6).

Таблица 4.6.

По критерию приведенной стоимости вариант финансирования, предложенный организацией А, оказался дешевле, чем предложение организации В. Заказчик в этих условиях безусловно предпочтет отдать подряд организации А (при прочих равных условиях).

Чистая приведённая стоимость (ЧПС , чистая текущая стоимость , чистый дисконтированный доход , ЧДД , англ. Net present value , принятое в международной практике для анализа инвестиционных проектов сокращение - NPV ) - это сумма дисконтированных значений потока платежей, приведённых к сегодняшнему дню.

Метод чистой приведенной стоимости получил широкое применение при бюджетировании капитальных вложений и принятии инвестиционных решений. Также NPV считается лучшим критерием отбора для принятия или отклонения решения о реализации инвестиционного проекта, поскольку основывается на концепции стоимости денег во времени. Другими словами, чистая приведенная стоимость отражает ожидаемое изменение благосостояния инвестора в результате реализации проекта.

Формула NPV

Чистая приведенная стоимость проекта является суммой настоящей стоимости всех денежных потоков (как входящих, так и исходящих). Формула расчета выглядит следующим образом:

CF t – ожидаемый чистый денежный поток (разница между входящим и исходящим денежным потоком) за период t ,
r – ставка дисконтирования,
N – срок реализации проекта.

Ставка дисконтирования

Важно понимать, что при выборе ставки дисконтирования должна быть учтена не только концепция стоимости денег во времени, но и риск неопределенности ожидаемых денежных потоков! По этой причине в качестве ставки дисконтирования рекомендуется использовать средневзвешенную стоимость капитала (англ. Weighted Average Cost of Capital, WACC ), привлеченного для реализации проекта. Другими словами, WACC является требуемой нормой доходности на капитал, инвестированный в проект. Следовательно, чем выше риск неопределенности денежных потоков, тем выше ставка дисконтирования, и наоборот.

Критерий отбора проектов

Правило принятия решения об отборе проектов при помощи NPV метода довольно прямолинейно. Нулевое пороговое значение говорит о том, что денежные потоки проекта позволяют покрыть стоимость привлеченного капитала. Таким образом, критерии отбора можно сформулировать следующим образом:

Отдельно взятый независимый проект должен быть принят при положительном значении чистой приведенной стоимости или отклонен при отрицательном. Нулевое значение является точкой безразличия для инвестора.
Если инвестор рассматривает несколько независимых проектов, принять следует те из них, у которых наблюдается положительный NPV.
Если рассматривается ряд взаимоисключающих проектов, выбрать следует тот из них, у которого будет максимальная чистая приведенная стоимость.

Простые и сложные проценты.. 2

Задачи и решения. 7

Частота начисления сложных процентов. 9

Текущая стоимость денег. 10

Аннуитет. 14

Амортизация кредитов. 17

Влияние инфляции. 18

ЦЕННЫЕ БУМАГИ.. 20

Цена облигаций. 21

Доходность облигаций. 30

Цена и доходность депозитных сертификатов и векселей. 38

Цена и доходность акций. 40

Привилегированные акции. 41

Обыкновенные акции. 42

Доходность акции. 49

Анализ рисков. 52

Риск вложений в ценные бумаги. 53

Риск и его виды.. 53

Измерение риска. 54

Доходность и риск портфеля ценных бумаг. 67

Снижение риска посредством диверсификации . 67

Портфельный анализ. 68

Взаимосвязь между ковариацией и стандартным отклонением портфеля. 71

Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг. 74

Оптимизация портфеля по Марковицу. 77

МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ.. 81

Опционы.. 87

Сущность опциона, основные понятия. 87

Цена опциона, модель Блека-Шоулза. 92

Учет временной стоимости денег

Простые и сложные проценты

Принятие решения о вложении капитала определяется в большинстве случаев величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем, При принятии таких решений весьма важную, если не решающую, роль играет фактор времени. В связи с этим возникает задача учета разнесенных во времени расходов и доходов. Для ее решения необходимо верное понимание стоимости денег во времени (time value of money) и метода дисконтирования денежных потоков (cash flow).

Концепцию стоимости денег во времени можно сформулировать следующим образом: деньги сегодня стоят больше чем такая же сумма, которую мы получим в будущем. Данный факт обусловлен следующими обстоятельствами.

1. Сегодняшние деньги можно инвестировать и получить дополнительные деньги в виде процентов.

2. Покупательная способность денег со временем может упасть из-за инфляции.

3. В получении денег в будущем нельзя быть до конца уверенным.

Таким образом, для принятия финансовых решений эффективных во времени, необходимо использование соответствующих методов, позволяющих учитывать временной аспект стоимости денег.

Преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операций накопления и дисконтирования. Накопление – процесс определения будущей стоимости денег. Дисконтирование – процесс приведения денег к их текущей стоимости. В первом случае движутся от «настоящего» к будущему, во втором - наоборот, от будущего к настоящему. В обоих случаях с помощью схемы сложных процентов удается получить оценку денежного потока с позиции будущего или «настоящего».

Будущая стоимость денег FV (future value), представляет собой будущую стоимость суммы средств, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемой ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов. Оценка будущей стоимости денег связана с процессом накопления, который представляет собой постепенное увеличение первоначальной стоимости путем присоединения к ней дохода, рассчитанного с учетом нормы доходности.

Приведенные формулы входят в число базовых в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителей FM 1(i , n )= (1+i)n и FM 2(i , n )=1/ (1+i)n табулированы для различных значений i и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в данном разделе, можно найти в литературе по финансовому менеджменту и анализу).

Множитель РМ1(i ,п) называется мультиплицирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл состоит в следующем: он показывает, чему будет равна стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке i. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

Множитель РМ2(i ,п) называется дисконтирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна стоимость одной денежной единицы (например, один рубль), которая будет получена или уплачена через п периодов от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) i . Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать буквально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом.

Важнейшим параметром, определяющим настоящую и будущую стоимость денег, является процентная ставка. Под процентной ставкой понимается отношение величины дохода за фиксированный отрезок времени к сумме долга. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Чаще всего на практике используют годовые ставки. Однако в качестве периода начисления может использоваться и полугодие, квартал, месяц и даже день. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме основного долга. В последнем случае говорят о капитализации процентов. Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением.

Размер процентной ставки по любому виду кредита или инструмента с фиксированным доходом зависит от целого ряда факторов, наиболее важными из которых являются расчетная денежная единица, срок платежа и риск невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения .

Абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг называют процентом (interest). В данном случае процент является абсолютной величиной, выраженной в денежных единицах, а не сотой частью числа.

Если обозначить за I – процент, i - процентную ставку и P – сумму долга, то взаимосвязь между величинами определяется следующим соотношением:

i = I / P.

Простой и сложный процент

Простой процент – это такой процент при котором его величина начисляется на первоначально вложенную сумму средств. При этом сумма процента, начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчет в процессе последующего наращения.

В случае сложного процента процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды. Он применяются в тех случаях, когда процент по кредитам (депозитам) выплачивается не сразу, а присоединяется к сумме основного долга. Такая процедура носит название капитализации.

Величины (1+n*i) и (1+i)n называются коэффициентами (множителями) наращения простых и сложных процентов соответственно.

Пример. Предположим, что вы положили на банковский счет 1000 руб. (PV) Процентная ставка равна 10% годовых. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите через 5 лет при условии, что не будите изымать проценты.

Рассчитаем будущую стоимость поэтапно. В конце первого года у вас на счете будет сумма равная

FV1= 1000* (1+0.1) = 1100 руб.

Полученная сумма складывается из 1000 рублей, с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 руб. Будущая стоимость 1000 руб. к концу первого года составила 1100 руб.

Если вы оставите 1100 руб. еще на один год, то по окончании второго года вы будите иметь сумму

FV2= 1100* (1+0.1) = 1210 руб.

Данную сумму можно представить в виде трех составляющих. Исходные деньги – 1000 рублей, проценты за первый год 100 руб. и за второй год – 100 руб. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами. Третья составляющая равна 10 руб. и представляет проценты, полученные во второй год, которые были начислены на 100 рублей, полученные в виде процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже начисленные ранее проценты, называются сложными процентами. Общая сумма процентных начислений 210 руб. состоит из простых процентов (200 руб.) и сложных процентов (10 руб.).

Продолжая представленную цепочку вычислений, мы можем рассчитать сумму на счете через 5 лет.

FV5= 1000* (1+0.1)5 = 1610.51 руб.

Таким образом, будущая стоимость 1000 руб. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610.51 руб. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610.51 руб., из которых 500 руб. являются простыми процентами и 110.51 – сложными.

Пример. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию. Сколько из этой суммы составят простые и сложные проценты.

FV = 1000 * (1+0.1)40 = 45259.26

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб., простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб. и сложных процентов, равных 40259.26 руб.

Рассмотрим эффект увеличения процентной ставки до 11%.

FV = 1000 * (1+0.11)40 = 65000.87 руб.

В данном примере кажущееся незначительным увеличение процентной ставки на 1% привело к получению дополнительной суммы равной 24741.61 руб.

Наряду с задачами наращения по сложному проценту в практике финансовых вычислений имеют место задачи, требующие наращения по простым процентам. В этом случае проценты начисляются только на основную сумму вклада. К ним относятся задачи определения цены краткосрочных финансовых инструментов, а также долгосрочных инструментов, если проценты не присоединяются к основному долгу, а выплачиваются. Формула для определения будущей стоимости денег для данного случая будет иметь вид:

FV = PV * (1+n*i).

В этой формуле мы использовали ранее принятые обозначения.

Пример. Возвратимся к рассмотренному выше примеру. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию.

FV = 1000 * (1+40*0.1) = 1000+4000 = 5000

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб. и простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб.

Процент может определяться не только при расчетах от настоящего к будущему, но и от будущего к настоящему. В этом случае процент представляет собой скидку с некоторой конечной суммы. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдает по этому векселю, называется дисконтом.

Задачи и решения

1. На депозит на срок два года положены 10000 руб. Какую сумму должен получить вкладчик в конце срока при начислении простых (сложных) процентов по ставке 18% годовых?

Для случая простых процентов получаем:

FV = PV *(1+n*i) = 10000*(1+2*0,18) = 13600 руб.

Для случая сложных процентов:

FV = PV *(1+ i)n= 10000*(1+*0,18)2= 13924 руб.

2. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.

Для случая простой ставки

FV = 2*PV = PV *(1+n*i),

n = (2-1)/0,1 =10 лет.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)n

n*Ln(1+0,1) =Ln2,

n= Ln2/ Ln(1+0,1) = 0,69/0,095 = 7,26 года.

3. Найти процентную ставку (простую и сложную) при которой первоначальная сумма вклада удвоится за десять лет.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n*i),

FV = 2*PV = PV *(1+10*i),

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)10

i = 2 1/10 – 1 = 0,072.

4. На вашем банковском вкладе проценты начисляются на основе «плавающей» ставки, которая изменяется каждый год. Три года назад вы положили на счет 10000 руб., когда процентная ставка была 15%. В прошлом году она упала до 12%, а в этом году установлена на уровне 10%. Какая сумма будет у вас на счете к концу текущего года? Расчеты произвести для случая простых и сложных ставок.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2 + n3*i3) = 10000*(1+1*0,15+1*0,12+1*0,1) = 13700 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 *(1+ i3)n3 = 10000* *(1+ 0,15)1*(1+ 0,12)1*(1+ 0,1)1 = 10000* 1,15*1,12*1,1 = 14168 руб.

5. В банк на срочный сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 9% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 6%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2) = 1000*(1+2*0,09+3*0,06) = 1360 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 = 1000* *(1+ 0,09)2*(1+ 0,06)3 = 1417 руб.

1. Вексель стоимостью 100 млн. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 20 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель по истечении срока договора.

Частота начисления сложных процентов

Процентная ставка задается, как правило, как номинальная годовая процентная ставка – это исходная ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Эта ставка может быть также использована для начисления процентов один раз в году. В этом случае, если начисление процента осуществляется чаще, чем 1 раз в год, например, ежеквартально, или ежемесячно, рассчитывается эффективная годовая ставка, которая эквивалентна процентной ставки при условии начисления процентов один раз в год.

Предположим, что годовая процентная ставка составляет, например 6% в год, при этом проценты начисляются ежемесячно. Это означает, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме 1/12 от 6%, или 0.5%. Эффективная процентная ставка может быть найдена из выражений

FV = (1.005)12 = 1.061678

Iэ = 1.06168-1 = 0.061678 = 6.1678% в год.

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

Iэ = (1+i/m)m – 1,

I – номинальная годовая ставка, m – число начислений процента в году.

При увеличении частоты начисления процентов эффективная процентная ставка увеличивается. Если проценты начисляются непрерывно, то эффективная процентная ставка определяется из соотношения

Iэ = Lim (1+i/m)m – 1 = ei - 1= 2.71828i -1

m à бесконечности.

В нашем примере e 0= 6.1836 в год.

Пример. Номинальная годовая ставка составляет 12% в год. Начисление процентов производится ежеквартально. Найти годовую эффективную ставку

Iэ = (1+0,12/4)4 – 1 = 12,55%.

Текущая стоимость денег

Процедура расчета текущей (приведенной) стоимости денег противоположна вычислению будущей стоимости. С ее помощью мы можем определить, какую сумму необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем.

Общая формула для вычисления приведенной стоимости 1 руб. через n периодов имеет вид:

где PV – текущая стоимость денег,

FV – будущая стоимость денег,

n – количество временных интервалов,

i – ставка дисконтирования.

Пример. Какую сумму необходимо положить на счет, чтобы через пять лет получить 1000 руб. (i=10%)

PV = 1000 / (1+0.1)^5 = 620.92 руб.

Таким образом, для расчета текущей стоимости денег мы должны известную их будущую стоимость поделить на величину (1+i)n. Текущая стоимость находится в обратной зависимости от величины ставки дисконтирования. Например, текущая стоимость денежной единицы, получаемой через 1 год при ставке 8% составляет

PV = 1/(1+0,08)1 = 0,93,

А при ставке 10%

PV = 1/(1+0,1)1 = 0,91.

Текущая стоимость денег находится также в обратной зависимости от числа временных периодов до их получения.

Рассмотренная процедура дисконтирования денежных потоков может быть использована при принятии решений об инвестировании. Наиболее общее правило принятия решений – правило определения чистой приведенной стоимости (NPV). Суть его состоит в том, что участие в инвестиционном проекте целесообразно в том случае, если приведенная стоимость будущих денежных поступлений от его реализации превышает первоначальные инвестиции.

Пример. Имеется возможность купить сберегательную облигацию номиналом 1000 руб. и сроком погашения 5 лет за 750 руб. Другим альтернативным вариантом инвестирования является размещение денег на банковском счету с процентной ставкой 8% годовых. Необходимо оценить целесообразность инвестирования средств в приобретение облигации.

Для расчета NPV в качестве процентной ставки или в более широком смысле ставки доходности, необходимо использовать альтернативную стоимость капитала. Альтернативная стоимость капитала – это та ставка доходности, которую можно получить от других направлений инвестирования. В нашем примере альтернативным видом инвестирования является помещение денег на депозит с доходностью 8%.

Сберегательная облигация обеспечивает денежные поступления в размере 1000 руб. через 5 лет. Текущая стоимость этих денег равна

PV = 1000/1.08^5 = 680.58 руб.

Таким образом, текущая стоимость облигации составляет 680.58 руб., в то время как купить ее предлагают за 750 руб. Чистая текущая стоимость инвестиций составит 680.58-750=-69.42, и инвестировать средства в приобретение облигации нецелесообразна.

Экономический смысл показателя NPV состоит в том, что он определяет изменение финансового состояния инвестора в результате реализации проекта. В данном примере в случае приобретения облигации богатство инвестора уменьшится на 69.42 руб.

Показатель NPV может быть также использован для оценки различных вариантов заимствования денежных средств. Например, вам нужно взять в долг 5000 дол. для приобретения автомобиля. В банке вам предлагают заем под 12 % годовых. Ваш друг может одолжить 5000 дол., если вы отдадите ему 9000 дол. через 4 года. Необходимо определить оптимальный вариант заимствования. Рассчитаем текущую стоимость 9000 дол.

PV = 9000/(1+0.12)^4 = 5719.66 дол.

Таким образом, NPV данного проекта составляет.66= -719.66 дол. В данном случае лучшим вариантом заимствования является банковский кредит .

Для расчета эффективности инвестиционных проектов можно использовать также показатель внутренней нормы доходности (internal rate of return) IRR. Внутренняя ставка доходности – это такое значение дисконтной ставки , которое уравнивает приведенную стоимость будущих поступлений и приведенную стоимость затрат. Другими словами, IRR равна процентной ставки, при которой NPV = 0.

В рассмотренном примере приобретения облигации IRR вычисляется из следующего уравнения

750 = 1000/(1+IRR)^5

Оценка денежных потоков

При принятии большинства финансовых решений приходится иметь дело с множественными денежными потоками, т. е. с денежными выплатами или поступлениями, имеющими место в течение ряда временных интервалов. В качестве примера можно рассмотреть приобретение облигации по которой ожидаются периодические процентные платежи, формирование накопительной части пенсии путем периодических отчислений работодателя и работника.

Элементы потока С могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В большинстве случаев денежные поступления считаются привязанными к концу временного интервала.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: (а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема накопления); (б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т. е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки накопленного денежного потока лежит следующая формула.

FV = Ck * (1+i)k

Пример. Вы каждый год кладете 1000 руб. на счет, по которому выплачивается 10% годовых, начиная с момента вклада. Сколько денег будет у вас на счете через два года, если вы не будете изымать проценты. К концу первого года исходная сумма 1000 руб. возрастет до величины

FV1 = 1000* (1+0,1)1 = 1100 руб.

В начале второго года к этой сумме будет добавлена еще 1000 руб. и на счете будет 2100 руб. К концу второго года эта сумма возрастет до величины

FV2 = 2100* (1+0,1)1 = 2310 руб.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность , непосредственное их суммирование невозможно. Приведение элементов денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью следующей формулы

PV = Ck / (1+i)k

В качестве примера задачи данного вида можно рассмотреть определение текущей стоимости облигации, которая будет погашена через два года с номинальной стоимостью 1000 руб. и купонной ставкой 10%. По данной облигации предполагаются купонные выплаты в размере 100 руб. в конце первого и второго года. Кроме этого в конце второго года выплачивается номинальная стоимость облигации. С учетом этого текущая стоимость денежного потока будет равна

PV = 100 / (1+0,1)1 + 100 / (1+0,1)2. + 1000 / (1+0,1)2 = 8438,01 руб.

Аннуитет

Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета . Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов , а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:

С1 = Сз = ... = Сп = А.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

Формула для расчета текущей стоимости аннуитета имеет вид

PVA = A/(1+i)+A/(1+i)2 A/(1+i)3+…+A/(1+i)n.

Введем следующие обозначения

В результате получим

PVA=B*(1+C+C2+C3+… +Cn-1) *

Умножая левую и правую части уравнения на величину C

PVA*С = B*(C+C2+C3+… +Cn) **

Вычитая уравнение ** из * получим

PVA*(1-С) = B*(1-Cn).

PVA* = A/(1+i)*.

Умножение обеих частей уравнения на величину (1+i) дает

PVA*i = A*

PVA = A*.

Аналогичным образом может быть получено выражение для расчета будущей стоимости аннуитета.

FVA = A+A*(1+i)2 A*(1+i)3+…+A*(1+i)n-1.

Введем обозначения B=A*(1+i)/ и получим

FVA = A*(1+B +B2 B3+…+Bn-1).

Умножим обе части уравнения на величину B.

FVA*B = A*(B +B2 B3+…+Bn).

Вычитая данное уравнение из предыдущего получим,

FVA*(1-B) = A*(1-Bn).

FVA = A/i*[(1+i)n-1].

По аналогии с функциями FM 1(i , n )= (1+i)n и FM 2(i , n )=1/ (1+i)n функции FM 3(i , n )= 1/i*[(1+i)n-1] FM 4(i , n )= и табулированы для различных значений i и п. Экономический смысл F МЗ(i ,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель F М4(i ,п) показывает текущую стоимость аннуитета в одну денежную единицу при заданных значениях i и n.

При выполнении некоторых инвестиционных расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение может быть получено на основе формулы

PVA = A*

при n стремящейся к бесконечности.

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициента дисконтирования i обычно принимается гарантированная процентная ставка (например процент, предлагаемый государственным банком).

Амортизация кредитов

Многие займы, такие как кредиты на покупку дома и покупку машины, выплачиваются равномерными периодическими платежами. Каждый из них состоит из двух частей: процентов на остаток долга и части его основной суммы. После каждой выплаты оставшаяся сумма долга уменьшается на уже выплаченную величину. Следовательно, в следующих платежах та часть, которая содержит в себе начисленные проценты , меньше, чем проценты за предыдущий период, а часть, приходящаяся на выплату основной суммы займа, больше, чем в предыдущем периоде.

Допустим, вы берете кредит в 100000 долл. на покупку дома под 9% годовых на условиях выплаты всей суммы с процентами тремя ежегодными платежами. Сначала мы рассчитываем годовой платеж, для чего находим A , PVA которого составляет 100000 долл. при условии уплаты 9% годовых на протяжении трех лет:

PVA = A*.

A = PVA/.

A = 100000/.

Таким образом, годовой платеж составляет 39505,48 долл. Далее необходимо определить, какую часть от 39505,48 долл. в первый год составят проценты и сколько придется на долю основного платежа? Поскольку процентная ставка равна 9% годовых, часть, приходящаяся на проценты в первый год, должна быть 0,09 х или 9000 долл. Остаток от 39504,48 долл., или 30505,48 долл. - сумма платежа от основной суммы в 100000 долл. Таким образом, после первого платежа остаток долга по займу составляет 100000 долл,48 долл., или,52 долл. Процесс постепенной регулярной выплаты займа на протяжении всего его периода называется амортизацией займа.

Далее рассчитаем платежи во второй год. Процентные платежи во второй год составят 0.09 х,52 долл., или 6254,51 долл. Остаток от 39504,48 долл. после расчета процентов составит 33250,97 долл. - это выплата основной суммы. Остаток после второй выплаты, следовательно, равен 69494,52 долл,97 долл., или 36243,54 долл.

Третий и последний платеж покрывает как проценты, так и основную сумму 36243,54 долл. (т. е. 1,09 х 36243,55 долл. = 39504,47 долл.). Рассмотренный график погашения трехгодичного займа представлен в таблице.

	Начальный долг	Общий платеж	Выплаченные проценты	Выплаченная основная сумма	Остаток долга



Итого

Анализ представленных данных показывает, что с каждой последующей выплатой 39504,48 долл. часть, приходящаяся на проценты, уменьшается, а часть основной суммы, предназначенной для выплаты основной суммы займа, увеличивается.

Влияние инфляции

Инфляция оказывает существенной влияние на принятие финансовых решений. Рассмотрим в качестве примера сбережения на старость. В возрасте 20 лет вы отложили 100 долл. и инвестировали их из расчета 8% годовых. Расчеты показывают, что ваши вложенные 100 долл. к тому времени, когда вам исполнится 65 лет, вырастут до 3192 долл. При этом необходимо учитывать, что реальная покупательская способность денег за 45 лет существенно снизится. Вещи, которые вы покупаете сегодня, к тому времени будут стоить гораздо больше. Например, если цены на все товары и услуги, которые вы хотите купить, будут подниматься на 8% в год на протяжении последующих 45 лет, на ваши 3192 долл. вы сможете купить не больше, чем на 100 долл. сегодня.

Временная стоимость или, как ещё часто говорят, временная оценка денег (ударение в слове «временная» здесь ставится на последний слог) – это экономическая концепция учитывающая изменение стоимости денег с течением времени.

Если говорить простыми словами, то суть данной концепции можно выразить одним предложением: одна и та же сумма денег сегодня стоит дороже, чем завтра и в последующие дни (причем, чем больше промежуток времени, тем больше эта самая разница в стоимости).

Объясняется это также довольно просто, как с экономической, так и с чисто психологической точки зрения. С точки зрения человеческой психологии всегда приятнее получить деньги сегодня, нежели завтра, в следующем месяце или через год. А поэтому одна и та же сумма полученная, что называется, сей момент, всегда оценивается дороже.

Ну а с точки зрения экономики, временная стоимость денег объясняется (и, собственно, оценивается) теми процентами, которые деньги могут принести за конкретный рассматриваемый промежуток времени.

Взять, к примеру, простой вклад в банк. Если вы положили на свой банковский счёт 100000 рублей, а через год сняли с него уже 108000 рублей, то временная стоимость указанной суммы денег за этот период составила 8000 рублей (более корректно будет указать её в процентах – 8% годовых).

В общем и целом из рассматриваемой концепции вытекают два следующих важных принципа:

В рамках проведения любых финансовых операций (с платежами, разнесёнными по срокам) следует обязательно учитывать фактор времени при взаиморасчётах;
В плане анализа долгосрочных инвестиций (или финансовых операций) некорректно суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени (без учёта стоимости денег за рассматриваемые периоды).

Как рассчитать временную стоимость денег

Теперь давайте поговорим о том, как, собственно говоря, эту самую пресловутую стоимость рассчитать. Как уже понятно из вышесказанного, временная стоимость денег в численном выражении является не чем иным, как той прибылью, которую можно бы было извлечь из них (например, посредством инвестирования) за рассматриваемый период времени.

То есть в самом простом случае, например при инвестировании денег в облигации с годовой ставкой доходности в 8%, потерянная прибыль за год будет составлять эти самые 8%. Другими словами, сумма в 100000 рублей, через один год будет оцениваться уже в (100000 + 100000х0,08) = 108000 рублей. И наоборот, будущая сумма (через один год) в 100000 рублей, в настоящее время будет оценена в 100000/1,08 = 92592,59 рублей.

При проведении финансовых операций, все разнесённые во времени платежи приводят к единому моменту времени (дисконтируют). Таким образом и учитывается временная стоимость денег.

Принято различать два основных вида стоимости:

Нынешняя стоимость денег (Present value, PV);
Будущая стоимость денег (Future value, FV).

Нынешнюю стоимость денег PV ещё называют дисконтированной стоимостью. Для приведённого выше примера (100000 рублей и восьмипроцентных облигаций), нынешняя стоимость денег равна 100000 рублей, а будущая, соответственно, 108000 рублей.

В общем случае, при проведении финансовых расчётов все денежные суммы приводятся либо к PV, либо к FV (за заданный промежуток времени) и только после этого их суммируют (или проводят другие вычисления с ними).

Расчёты величин PV и FV могут проводиться как на основе простого, так и на основе сложного процента.

Напомним, что сложным процентом называется начисление прибыли с учётом реинвестирования. То есть, например, прибыль за пять лет при годовой ставке доходности в 5%, будет считаться с учётом того, что каждый год к инвестируемой сумме добавляются 5% прибыли.

В случае расчёта на основе простого процента, формулы нынешней и будущей стоимости денег будут иметь вид:

где R – процентная ставка (годовых);

T – срок в годах.

При расчёте на основе сложного процента, формулы примут вид:

А, например, для случая аннуитетных платежей со ставкой роста g и ставкой дисконтирования i, нынешнюю стоимость денег (PV) можно рассчитать по формуле:

Что оказывает влияние на временную стоимость денег

Если, что называется, копнуть чуть глубже, то можно сказать, что временная стоимость денег может зависеть как от внутренних, так и от внешних факторов. К внутренним факторам следует отнести такие, которые зависят главным образом от того, каким образом происходит распоряжение деньгами с течением времени. А именно:

Уровень доходности (проценты от инвестиций денежных средств);
Уровень риска сопряжённый с вышеупомянутыми инвестициями. Риск может заключаться как в неполучении дохода от инвестиций, так и в прямом убытке от них (вплоть до полного невозврата инвестированных средств).

К внешним же факторам относят те, которые не зависят от того каким образом управляются деньги, в какие финансовые инструменты они инвестируются и пр. Самым главным из них является инфляция. Чем выше уровень инфляции, тем больше обесцениваются деньги со временем и, следовательно, тем меньше становится их будущая стоимость (FV).

Для учёта всех этих факторов существуют сложные формулы, позволяющие максимально точно (насколько это вообще возможно) рассчитать временную стоимость денег. Точность таких расчётов во многом ограничена тем, что такие величины как уровень доходности, риск или инфляция берутся исходя из прогнозируемых значений (а любой прогноз имеет свою степень погрешности).

Мы же не стали вникать в такие премудрости и привели простые формулы для расчёта текущей (PV) и будущей (FV) стоимости денег на основе предполагаемого уровня доходности по ним (см. предыдущий раздел). Полагаю, что этого вполне достаточно для того, чтобы понять всю суть излагаемой здесь теории.

Ну а если сказать ещё проще, то с точки зрения простого трейдера или инвестора, рассматриваемая концепция временной стоимости денег может быть сведена к аксиоме: Деньги должны делать деньги.

Определения настоящей (текущей) стоимости денег

В финансовых расчетах существует необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Именно поэтому достаточно часто возникает необходимость определения настоящей (текущей) стоимости (Present Value - PV) денег, которая выступает основой для сравнения прибыльности различных проектов и инвестиций за определенный период.

Нынешняя стоимость - это денежная стоимость будущих поступлений или доходов с поправкой на ставки дисконта (капитализации).

С формальной точки зрения, ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости. Ставка дисконтирования выражается в процентах или долях единицы. Верхний уровень ставки дисконтирования теоретически может быть больше 100 % (больше 1), а нижний уровень определяется экономическими факторами. С экономической точки зрения ставка дисконтирования - мера затрат на привлечения капитала для инвестирования в конкретный инвестиционный проект.

Иначе говоря, ставка дисконтирования-это ожидаемая инвесторами ставка доходности на вложенный капитал при наличии альтернативных возможностей его вложения в объекты инвестиций с аналогичным уровнем риска. В связи с этим нижним уровнем ставки дисконтирования является так называемая "безрисковая" ставка. По сути, это такая ставка процента, под которую инвесторы могли бы дать деньги в долг, если бы не было опасности вернуть их обратно, или под которую они могли бы взять деньги в долг, если бы их залоговое обеспечение было бы настолько надежным, что кредиторы считали бы шансы на неуплату мизерными.

В странах с развитой рыночной экономикой как "безрисковую" ставку используют процент по ценным бумагам, гарантированным правительством США, или текущую ставку доходности по казначейским векселям и облигациям. В отдельных крупных проектах, которые предусматривают финансирование как за счет отечественного, так и иностранного капитала, уровень "безрисковой" ставки принимают по ставке LIBOR (процентная ставка, по которой на европейском валютном рынке банки предлагают друг другу депозиты). Для условий Украины вопрос установления уровня "безрисковой" ставки не может быть определен однозначно. Одной из основных причин этого является отсутствие сложившегося рынка капитала внутри страны.

Для подсчета текущей стоимости следует определить ставку дисконта, учитывающей рискованность определенного проекта или инвестиций. Существует простое правило:

риск означает высокую ставку дисконта (капитализации), малый риск означает низкую дисконтную ставку.

в Целом для оценки дисконтных ставок используют такие принципы:

из двух будущих поступлений высшее учетную ставку будет иметь то, что поступит позже;

чем ниже определенный уровень риска, тем ниже должна быть ставка дисконта; если общие процентные ставки на рынке растут, растут и дисконтные ставки; риск может уменьшиться, если есть перспектива делового подъема, снижение др..

Расчет настоящей стоимости денег осуществляется с помощью процесса дисконтирования, который является противоположным компаундуванню.

Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (PV) по известной конечной сумме (FV)% которую нужно отдать через некоторое время (п). то Есть дисконтирование - это процесс возведения экономических показателей разных лет к сопоставимого во времени виду.

Говорят: сумма FV - дисконтируется, а разность FV - PV называется дисконтом и обозначается D. Дисконт - это процентные деньги (проценты), начисленные и собранные заранее.

в условиях рынка задача дисконтирования возникает очень часто при выработке условий контрактов между двумя предприятиями, различными объектами хозяйствования, при определении текущей рыночной стоимости векселей, акций, облигаций и других ценных бумаг.

Практическое применение дисконтирования для определения приведенной настоящей стоимости денежных потоков требует соответствующего финансово-математической формализации модели дисконтирования - определение абсолютной величины дисконта. В зависимости от потребностей анализа денежных потоков и изменения их стоимости во времени могут использоваться такие модели дисконтирования: простое дисконтирования аннуитетов (отсроченной или авансовой ренты) - подробно будет рассмотрено в параграфе 4.4.

простым дисконтированием (single discounting) понимают финансово-математическая модель расчета приведенной стоимости будущего денежного потока, получение которого, как ожидается, состоится однократно через четко определенный период. Результатом простого дисконтирования является приведенная настоящая стоимость (present value, или PV) отдельного будущего денежного потока.

Процессы компаундирования и дисконтирования тесно взаимосвязаны друг с другом. Определение текущей стоимости (дисконтирования) является прямой противоположностью компаундуванню, то есть эти величины характеризуются обратной зависимостью:

Таким образом, если нам известен показатель будущей стоимости денег (РУ), то с помощью дисконтирования мы можем рассчитать их приведенную стоимость (РУ).

Дисконтирование осуществляется с помощью коэффициента дисконтирования (дисконтуючого множителя, а1).

Определим учетную ставку d, как следующее отношение:

Настоящая стоимость денег может определяться исходя из простой или сложной схемы начисления процентов.

Пользуясь соотношением (4.15) и учитывая зависимость между функциями компаундингу и дисконтирования, приведем формулу для определения текущей стоимости денег в случае использования дисконтной ставки для схемы простых процентов:

где РУ- приведенная текущая стоимость будущего денежного потока; РУ - абсолютная величина будущего денежного потока; п - количество интервалов в плановом периоде; г - ставка дисконтирования (выраженная десятичной дробью); Као - коэффициент дисконтирования при применении простых процентов (выраженный десятичной дробью).

Пример . Какую сумму надо положить на депозитный счет инвестору, чтобы в конце четвертого года получить 25000 игры., если проценты установлены на уровне 16% и начисляются они по простой схеме?

При учете инфляции, как и в случае определения будущей стоимости, результат корректируется путем учета ее прогнозного уровня (Ипр):

где / - прогнозный уровень инфляции;

Дисконтирование с использованием сложных процентов является достаточно распространенным способом определения текущей стоимости денег, которая используется не только в финансовом менеджменте, но и в инвестиционном проектировании и при определении стоимости бизнеса.

Задача определения настоящей стоимости по схеме сложных процентов решают с помощью формулы 4.19:

где---- это коэффициент дисконтирования. Экономический коэффициент дисконтирования

состоит в том, что его величина соответствует текущей стоимости одной денежной единицы, которая будет получена в конце периода п при сложном процента г. Его величина зависит от длительности всего периода и необходимой ставки дисконта.

Пример . Допустим, что кое-кто хотел бы иметь через 4 года 1000 игры., недостающие до суммы уплаты за обучение ребенка в престижном университете. Если средняя ставка по депозитам составляет 15%, какую сумму ему необходимо отнести в банк?

Можно определить настоящую стоимость будущего денежного потока с использованием финансовой таблицы (Приложение Б), которая содержит абсолютное значение ставки дисконтирования, исходя из уровня процентной ставки и количества интервалов в плановом периоде. Таблица определения настоящей стоимости экономит много усилий для подсчета различных ее факторов. Эта таблица, например, показывает, что стоимость уменьшается, когда возрастает промежуток времени, а также когда повышается ставка дисконта.

Приложении Б приведены только те значения факторов, которые, если их перемножить на будущую стоимость, дают значение приведенной стоимости. Соответственно с учетом данных финансовой таблицы с Приложении Б нынешнюю стоимость рассчитывают по формуле 4. 20:

где PVIF- фактор (множитель) текущей стоимости, стандартные значения которого приведены в таблице значений фактора текущей стоимости (Приложение Б).

Пример . Допустим, вы хотите определить нынешнюю стоимость $ 1000 через годы; вы надеетесь на ежегодный уровень риска, связанный с реализацией проектов под 10%.

Как видно из Приложения А, значения факторов растет от времени и роста сложного процента. Поэтому, если эти факторы подставить в знаменатель последнего уравнения, нынешняя стоимость $ 1000 через 3 года будет:

$ 1000/(1+0,10)* = $ 751

Как появилась эта стоимость? Путем простого перемножения (1,10 х 1,10 х 1,10= 1,33) и использование этого фактора для дисконтирования: $ 1000/1,33 = $751

В последнем примере, где стояла задача определить текущую стоимость $1000 через 3 года, достаточно было посмотреть на количество лет и соответствующий процентный фактор нынешней стоимости (PVIF) Present Value interest Factor согласно поданной дисконтной ставке. Как показано в Приложении Б, этот фактор составляет 0,751. Чтобы получить теперешнюю стоимость $1000 через 3 года, имея дисконт 10%, перемножте значения фактора на сумму текущей стоимости($1000*(0751 = $751). Тот же результат вы получили путем длинных подсчетов.

Если начисление процентов планируется более одного раза за год, то расчет проводят по формуле 4. 21:

где т - количество начислений за год, ед.

процента, начисляемую непрерывно настоящая стоимость средств определяется по формуле 4. 22:

Настоящая стоимость является суммой денег, которая, если ее инвестировать в текущем году под данный процент г вырастет через // лет в будущем до необходимого или желаемого уровня. Теперешняя стоимость - это единственный правильный путь для конвертации потоков будущих платежей в сегодняшние деньги.

Очевидно, если вы имеете два разных проекта с одинаковым периодом реализации и расходами, но разными факторами риска, то можно определить их настоящую стоимость и сравнить, какой из них целесообразнее выбрать. Оценка целесообразности капиталовложений в те или иные проекты или инвестиции в основу берет понятие приведенной стоимости. Все сводится к тому, чтобы дисконтировать будущий доход в зависимости от уровня риска и неопределенности будущего. Метод определения текущей стоимости позволяет это сделать.

Пример . Допустим, фирма надеется получить такие суммы денег за следующие четыре года: 1-й год - 1000 тыс. игры.; 2-й год -1200 тыс. грн.; 3-й год -1500 тыс. грн.; 4-й год - 900 тыс. грн.

Нынешняя стоимость всего денежного потока является простой суммой стоимости денежных потоков за каждый год. Если дисконтная ставка равна 10%, текущая стоимость денежных потоков за 4 года равна 3642,43 тыс. грн.:

Настоящая стоимость денежного потока за 4 года составляет 3642,43 тыс. грн.

Таблица настоящей стоимости (Приложение Б) очевидно экономит финансистам много времени. Обратите внимание на то, что за понижение ставки дисконта растет значение приведенной стоимости, когда ставки растут - стоимость падает. Следовательно, должно быть понятно, что понятие настоящей стоимости является важным фактором для выбора решения о вложении денег и инвестиций.